Trigonometrijski limes: (pi/2 − x) puta tg x

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {\frac {\pi} 2}} \bigg(\big(\frac {\pi} 2-x\big)\tg{x}\bigg)

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu:

\frac {\pi} 2 -x=u \implies x=\frac {\pi} 2-u

Uvrstiti smenu u izraz:

\lim_{{u} \to {0}} \bigg(u*\tg{\big(\frac {\pi} 2-u\big)}\bigg)

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{x}=\frac {\sin{x}} {\cos{x}}$

\lim_{{u} \to {0}} \bigg(u*\frac{\sin{\big(\frac {\pi} 2-u\big)}} {\cos{\big(\frac {\pi} 2-u\big)}}\bigg)

Primeniti adicionu formulu za sinus razlike: $\sin(\alpha-\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$

\lim_{{u} \to {0}} \bigg(u*\frac{\sin{\frac {\pi} 2}\cos{u}-\cos{\frac {\pi} 2}\sin{u} } {\cos{\big(\frac {\pi} 2-u\big)}}\bigg)

Primeniti adicionu formulu za kosinus razlike: $\cos(\alpha-\beta)=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$

\lim_{{u} \to {0}} \bigg(u*\frac{\sin{\frac {\pi} 2}\cos{u}-\cos{\frac {\pi} 2}\sin{u} } {\cos{\frac {\pi} 2}\cos{u}+\sin{\frac {\pi} 2}\sin{u}}\bigg)

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija:

\lim_{{u} \to {0}} \bigg(u*\frac{1*\cos{u}-0*\sin{u} } {0*\cos{u}+1*\sin{u}}\bigg)= \lim_{{u} \to {0}} \bigg(u*\frac{\cos{u}} {\sin{u}}\bigg)

Raščlaniti izraz:

\lim_{{u} \to {0}} \frac{u} {\sin{u}}*\lim_{{u} \to {0}}\cos{u}

Primeniti tablični limes: $\lim_{{x} \to {0}}\frac {\sin{x}} {x}=1$

1*\lim_{{u} \to {0}}\cos{u}

Zameniti $u=0$ i uvrstiti vrednost trigonometrijske funkcije:

1*\lim_{{u} \to {0}}\cos{0}=1*1=1

8. Trigonometrijski limes