Trigonometrijska nejednačina sa tangensom i kosinusom

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sqrt2\cos x\tg x-\sqrt6\cos x+\tg x-\sqrt3>0, \quad x\in[0,2\pi]

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

\sqrt2\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt6\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}-\sqrt3>0

Svesti sve članove na isti imenilac.

\frac{\sqrt2\cos x\sin x-\sqrt6\cos^2x+\sin x-\sqrt3\cos x}{\cos x}>0

Grupisati članove u brojiocu i izvući zajedničke činioce ispred zagrade.

\frac{(\sqrt2\cos x\sin x-\sqrt6\cos^2x)+(\sin x-\sqrt3\cos x)}{\cos x}>0 \\ \frac{\sqrt2\cos x(\sin x-\sqrt3\cos x)+(\sin x-\sqrt3\cos x)}{\cos x}>0 \\ \frac{(\sin x-\sqrt3\cos x)(\sqrt2\cos x+1)}{\cos x}>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sin x-\sqrt3\cos x,$ $\sqrt2\cos{x}+1$ i $\cos{x}.$

Znak izraza $\sin{x}-\sqrt3\cos x:$

$\sin{x}-\sqrt3\cos x>0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}3, \ \frac{4\pi}3\bigg)

$\sin{x}-\sqrt3\cos x<0$ za:

x\in\bigg(0,\ \frac{\pi}3\bigg)\ \cup \ \bigg(\frac{4\pi}3, \ 2\pi\bigg)

Znak izraza $\sqrt2\cos{x}+1:$

$\sqrt2\cos{x}+1>0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{3\pi}4\bigg)\ \cup\ \bigg(\frac{5\pi}4, \ 2\pi\bigg)

$\sqrt2\cos{x}+1<0$ za:

x\in\bigg(\frac{3\pi}4, \ \frac{5\pi}4\bigg)

Znak izraza $\cos{x}:$

$\cos{x}>0$ za:

x \in \bigg(0,\ \frac{\pi}{2}\bigg)\ \cup \ \bigg(\frac{3\pi}2, \ 2\pi\bigg)

$\cos{x}<0$ za:

x \in\bigg(\frac{\pi}2, \ \frac{3\pi}2\bigg)

x\in(0,\frac{\pi}3)

x\in(\frac{\pi}3,\frac{\pi}2)

x\in(\frac{\pi}2,\frac{3\pi}4)

x\in(\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4)

x\in(\frac{5\pi}4,\frac{4\pi}3)

x\in(\frac{4\pi}3, \frac{3\pi}2)

x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)

\sin x-\sqrt3\cos x

-

+

+

+

+

-

-

\sqrt2\cos x+1

+

+

+

-

+

+

+

\cos x

+

+

-

-

-

-

+

\frac{(\sin x-\sqrt3\cos x)(\sqrt2\cos x+1)}{\cos x}

-

+

-

+

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg(\frac{\pi}3, \ \frac{\pi}2\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{3\pi}4, \ \frac{5\pi}4\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{4\pi}3, \ \frac{3\pi}2\bigg)

$\sqrt2\cos x\tg x-\sqrt6\cos x+\tg x-\sqrt3>0$