Trigonometrijska nejednačina: tg x − sin x > 0

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\tg{x}-\sin{x}>0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju: $\tg{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$

\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}>0 \\ \sin{x}\cdot (\frac{1}{\cos{x}}-1)>0 \\ \sin{x}\cdot \frac{1-\cos{x}}{\cos{x}}>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sin{x},$ $\cos{x}$ i $1-\cos{x}.$

Znak izraza $\sin{x}:$

$\sin{x}>0$ za:

x \in (0+2k\pi, \ \pi + 2k\pi)

$\sin{x}<0$ za:

x \in (\pi+2k\pi, \ 2\pi+2k\pi)

Znak izraza $\cos{x}:$

$\cos{x}>0$ za:

x \in (\frac{3\pi}{2}+2k\pi, \ \frac{\pi}{2}+2k\pi)

$\cos{x}<0$ za:

x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)

Znak izraza $1-\cos{x}:$

Budući da je $-1\le\cos{x}\le1,$ izraz $1-\cos{x}$ je je pozitivan za sve $x \in (0+2k\pi, \ 2\pi+2k\pi).$

(0, \frac{\pi}{2})

(\frac{\pi}{2}, \pi)

(\pi, \frac{3\pi}{2})

(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)

\sin{x}

+

+

-

-

1-\cos{x}

+

+

+

+

\cos{x}

+

-

-

+

\sin{x}\cdot \frac{1-\cos{x}}{\cos{x}}

+

-

+

-

Pročitati iz tabele za koje vrednosti $x$ je izraz pozitivan.

x \in (0+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi) \quad \cup \quad x \in (\pi+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi), \quad k\in\mathbb{Z}

$\tg{x}-\sin{x}>0$