843.

sin⁡x−cos⁡x>0\sin{x}-\cos{x}>0

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

sin⁡x−cos⁡x>0\sin{x} - \cos{x} > 0
REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa: a2+b2=12+12=1+1=2,\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2+ 1^2} = \sqrt{1+1}=\sqrt2, gde su aa i bb koeficijenti koji stoje uz sin⁡x\sin{x} i cos⁡x\cos{x}

12sin⁡x−12cos⁡x>022sin⁡x−22cos⁡x>0\frac{1}{\sqrt{2}} \sin{x} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos{x} >0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{x} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos{x} >0

Koeficijent 22\frac {\sqrt2}2zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: cos⁡π4\cos{\frac{\pi}{4}} i sin⁡π4\sin\frac {\pi}4

sin⁡x⋅cos⁡π4−sin⁡π4⋅cos⁡x>0\sin{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \cos{x} >0

Leva strana nejednačine može se napisati kao sinus razlike dva ugla koristeći formulu: sin⁡(α−β)=sin⁡α⋅cos⁡β−sin⁡β⋅cos⁡α.\sin{(\alpha-\beta)} = \sin{\alpha}\cdot\cos{\beta}-\sin{\beta}\cdot\cos{\alpha}.

sin⁡(x−π4)>0\sin{(x-\frac{\pi}{4})} > 0

Rešiti nejednačinu:

0+2kπ<x−π4<π+2kπ0+π4+2kπ<x<π+π4+2kππ4+2kπ<x<5π4+2kπ,k∈Z0+ 2k\pi < x-\frac{\pi}{4} < \pi+ 2k\pi \\ 0+ \frac{\pi}{4} +2k\pi < x < \pi+ \frac{\pi}{4} +2k\pi \\ \frac{\pi}{4}+2k\pi<x<\frac{5\pi}{4}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}