883.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

cos⁡x−sin⁡x<1\cos x-\sin x<1
REŠENJE ZADATKA

Pomnožiti jednačinu sa −1.-1. Pri množenju nejednačine negativnim brojem menja se smer znaka nejednakosti.

sin⁡x−cos⁡x>−1\sin x-\cos x>-1

Podeliti obe strane jednačine sa: a2+b2=12+12=1+1=2,\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2+ 1^2} = \sqrt{1+1}=\sqrt2, gde su aa i bb koeficijenti koji stoje uz sin⁡x\sin{x} i cos⁡x\cos{x}

12sin⁡x−12cos⁡x>−1222sin⁡x−22cos⁡x>−12\frac{1}{\sqrt{2}} \sin{x} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos{x} >-\frac1{\sqrt2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{x} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos{x} >-\frac1{\sqrt2}

Koeficijent 22\frac {\sqrt2}2zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: cos⁡π4\cos{\frac{\pi}{4}} i sin⁡π4\sin\frac {\pi}4

sin⁡x⋅cos⁡π4−sin⁡π4⋅cos⁡x>−12\sin{x} \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \cos{x} >-\frac1{\sqrt2}

Leva strana nejednačine može se napisati kao sinus razlike dva ugla koristeći formulu: sin⁡(α−β)=sin⁡α⋅cos⁡β−sin⁡β⋅cos⁡α.\sin{(\alpha-\beta)} = \sin{\alpha}\cdot\cos{\beta}-\sin{\beta}\cdot\cos{\alpha}.

sin⁡(x−π4)>−12\sin{(x-\frac{\pi}{4})} > -\frac1{\sqrt2}

Rešiti nejednačinu:

−π4+2kπ<x−π4<−(π−π4)+2kπ−π4+2kπ<x−π4<−3π4+2kπ2kπ<x<−π2+2kπ,k∈Z-\frac{\pi}4+2k\pi<x-\frac{\pi}4<-(\pi-\frac{\pi}4)+2k\pi \\ -\frac{\pi}4+2k\pi<x-\frac{\pi}4<-\frac{3\pi}4+2k\pi \\ 2k\pi<x<-\frac{\pi}2+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti