Nejednačina sa apsolutnom vrednošću sinusa

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

|\sin x|>\frac12

REŠENJE ZADATKA

Primeniti definiciju apsolutne vrednosti: $|a|= \begin {cases} a, \quad \text{ako je}\ \ a \ge 0\\ -a, \quad \text{ako je}\ \ a < 0 \end {cases}$

|\sin{x}|= \begin {cases} \sin{x}, \quad \text{ako je}\ \ \sin{x} \ge 0\\ -\sin{x}, \quad \text{ako je}\ \ \sin{x} < 0 \end {cases}

Prvi slučaj: kada je $\sin{x}>0,$ tada nejednačina prelazi u:

\sin{x}>\frac{1}{2}

Rešenje ovog slučaja je:

\frac{\pi}6+2k\pi<x<\frac{5\pi}6+2k\pi

Drugi slučaj: kada je $\sin{x}<0,$ tada nejednačina prelazi u:

-\sin{x}>\frac{1}{2} \\ \sin{x}<-\frac{1}{2}

Rešenje ovog slučaja je:

-\frac{5\pi}6+2k\pi <x< -\frac{\pi}6+2k\pi

Konačno rešenje jednako je uniji rešenja oba slučaja.

x \in (\frac{\pi}6+2k\pi, \ \frac{5\pi}6+2k\pi) \ \cup\ (-\frac{5\pi}6+2k\pi, \ -\frac{\pi}6+2k\pi) \quad k\in\mathbb{Z}

$|\sin x|>\frac12$