Trigonometrijska nejednačina: sin x + sin 3x

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sin x+\sin3x\ge0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za zbir sinusa: $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cos\frac{\alpha-\beta}2$

2\sin\frac{x+3x}2\cos\frac{x-3x}2\ge0 \\ 2\sin2x\cos(-x)\ge0

Zbog parnosti kosinus funkcije važi: $\cos(-x)=\cos x$

\sin2x\cos x\ge0

Odrediti za koje vrednosti $x$ važi $\sin2x\ge0,$ odnosno $\sin2x<0.$

0+2k\pi\le2x\le\pi+2k\pi \\ 0+k\pi\le x\le\frac{\pi}2+k\pi

Odrediti za koje vrednosti $x$ važi $\cos x\ge0,$ odnosno $\cos x<0.$

\frac{3\pi}2+2k\pi\le x\le\frac{5\pi}2+2k\pi

x\in(0,\frac{\pi}2)

x\in(\frac{\pi}2,\pi)

x\in(\pi, \frac{3\pi}2)

x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)

\sin2x

+

-

+

-

\cos x

+

-

-

+

\sin2x\cos x

+

+

-

-

Rešenje pročitati iz tabele.

x\in[0+2k\pi,\pi+2k\pi] \quad\lor\quad x=\frac{3\pi}2+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

$\sin x+\sin3x\ge0$