Trigonometrijska nejednačina sa sinusom zbira

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2\sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2x\ge1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\sin^2x+\sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2x\ge1 \\ \sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x+1\ge1 \\ \sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x\ge0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade kako bi se mogla primeniti formula za sinus zbira.

2\sin x\bigg(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}2\cos x\bigg)\ge0

Koeficijente $\frac 12$ i $\frac{\sqrt3}2$ zameniti njihovim trigonometrijskim vrednostima: $\cos{\frac{\pi}{3}}$ i $\sin\frac {\pi}3$

2\sin x\bigg(\sin x\cos\frac{\pi}3+\sin\frac{\pi}3\cos x\bigg)\ge0

Primeniti formulu za sinus zbira: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

\sin x\sin \big(x+\frac{\pi}3\big)\ge0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sin{x}$ i $\sin(x+\frac{\pi}3).$

Znak izraza $\sin{x}:$

$\sin{x}>0$ za:

x \in (0+2k\pi, \ \pi + 2k\pi)

$\sin{x}<0$ za:

x \in (\pi+2k\pi, \ 2\pi+2k\pi)

Znak izraza $\sin(x+\frac{\pi}3):$

$\sin(x+\frac{\pi}3)>0$ za:

x \in (-\frac{\pi}3+2k\pi, \ \frac{2\pi}3 + 2k\pi)

$\sin(x+\frac{\pi}3)<0$ za:

x \in (\frac{2\pi}3 + 2k\pi, \ -\frac{\pi}3+2k\pi)

x\in(-\frac{\pi}3,\ 0)

x\in(0,\ \frac{2\pi}3)

x\in(\frac{2\pi}3, \ \pi)

x\in(\pi, \ 2\pi)

\sin x

-

+

+

-

\sin(x+\frac{\pi}3)

+

+

-

-

\sin x\sin(x+\frac{\pi}3)

-

+

-

+

Pročitati iz tabele za koje vrednosti $x$ je izraz pozitivan.

x\in[k\pi, \ \frac{2\pi}3+k\pi], \quad k\in\mathbb{Z}

$2\sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2x\ge1$