887.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2cos⁡2x−3cos⁡x+1>02\cos^2x-3\cos x+1>0
REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu cos⁡x=t.\cos x=t.

2t2−3t+1>02t^2-3t+1>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2t2−3t+1=02t^2-3t+1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: x1,2=−b±b2−4ac2a,x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}, gde su: a=2,a=2, b=−3b=-3 i c=1c=1

t1,2=3±(−3)2−4⋅2⋅12⋅2  ⟹  t1=12,t2=1t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot1}} {2\cdot2} \implies t_1=\frac12, \quad t_2=1

Rastaviti nejednačinu po formuli: a(x−x1)(x−x2), a(x-x_1)(x-x_2) , gde su x1x_1 i x2x_2 rešenja kvadratne jednačine t1t_1 i t2.t_2.

2(t−12)(t−1)>02(t-\frac12)(t-1)>0
t∈(−∞,12)t\in(-\infty, \frac12)
t∈(12,1)t\in(\frac12,1)
t∈(1,∞)t\in(1,\infty)
t−12t-\frac12
−-
++
++
t−1t-1
−-
−-
++
(t−12)(t−1)(t-\frac12)(t-1)
++
−-
++

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t∈(−∞,12) ∪ (1,∞)t\in\bigg(-\infty,\frac12\bigg)\ \cup\ (1,\infty)

Vratiti cos⁡x\cos x umesto smene t:t:

cos⁡x∈(−∞,12) ∪ (1,∞)\cos x\in\bigg(-\infty,\frac12\bigg)\ \cup\ (1,\infty)

Rešenje nejednačine je:

x∈(π3+2kπ, 5π3+2kπ),k∈Zx\in\bigg(\frac{\pi}3+2k\pi, \ \frac{5\pi}3+2k\pi\bigg), \quad k\in \mathbb{Z}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti