Trigonometrijska nejednačina smenom cos x = t

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2\cos^2x-3\cos x+1>0

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $\cos x=t.$

2t^2-3t+1>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2t^2-3t+1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-3$ i $c=1$

t_{1,2}=\frac {3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot1}} {2\cdot2} \implies t_1=\frac12, \quad t_2=1

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

2(t-\frac12)(t-1)>0

t\in(-\infty, \frac12)

t\in(\frac12,1)

t\in(1,\infty)

t-\frac12

-

+

+

t-1

-

-

+

(t-\frac12)(t-1)

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t\in\bigg(-\infty,\frac12\bigg)\ \cup\ (1,\infty)

Vratiti $\cos x$ umesto smene $t:$

\cos x\in\bigg(-\infty,\frac12\bigg)\ \cup\ (1,\infty)

Rešenje nejednačine je:

x\in\bigg(\frac{\pi}3+2k\pi, \ \frac{5\pi}3+2k\pi\bigg), \quad k\in \mathbb{Z}

$2\cos^2x-3\cos x+1>0$