Trigonometrijska nejednačina smenom sin x = t

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2\sin^2x-\sin x-1>0

REŠENJE ZADATKA

Uvesti smenu $\sin x=t.$

2t^2-t-1>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2t^2-t-1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-1$ i $c=-1$

t_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)}} {2\cdot2} \implies t_1=-\frac12, \quad t_2=1

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

2(t+\frac12)(t-1)>0

t\in(-\infty,-\frac12)

t\in(-\frac12, 1)

t\in(1,\infty)

t+\frac12

-

+

+

t-1

-

-

+

(t+\frac12)(t-1)

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t\in\bigg(-\infty,-\frac12\bigg) \ \cup (1,\infty)

Vratiti $\sin x$ umesto smene $t:$

\sin x\in\bigg(-\infty,-\frac12\bigg) \ \cup (1,\infty)

Rešenje nejednačine je:

x\in\bigg(\frac{7\pi}6+2k\pi, \ \frac{11\pi}6+2k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

$2\sin^2x-\sin x-1>0$