Kvadratna nejednačina po sin x sa korenom iz 3

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sin^2x-\frac{\sqrt3-1}2\sin x-\frac{\sqrt3}4<0

REŠENJE ZADATKA

Pomnožiti izraz sa $4.$

4\sin^2x-(2\sqrt3-2)\sin x-\sqrt3<0

Uvesti smenu $\sin x=t.$

4t^2-(2\sqrt3-2)t-\sqrt3<0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

4t^2-(2\sqrt3-2)t-\sqrt3=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=4,$ $b=-2\sqrt3+2$ i $c=-\sqrt3$

t_{1,2}=\frac {2\sqrt3-2\pm\sqrt{(-2\sqrt3+2)^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt3)}} {2\cdot4} \implies t_1=-\frac12, \quad t_2=\frac{\sqrt3}2

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

4(t+\frac12)(t-\frac{\sqrt3}2)<0

t\in(-\infty,-\frac12)

t\in(-\frac12,\frac{\sqrt3}2)

t\in(\frac{\sqrt3}2, \infty)

t+\frac12

-

+

+

t-\frac{\sqrt3}2

-

-

+

(t+\frac12)(t-\frac{\sqrt3}2)

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

t\in\bigg(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\bigg)

Vratiti $\sin x$ umesto smene $t:$

\sin x\in\bigg(-\frac12,\ \frac{\sqrt3}2\bigg)

Rešenje nejednačine je:

x\in\bigg(-\frac{\pi}6+2k\pi, \frac{\pi}3+2k\pi\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{2\pi}3+2k\pi, \frac{7\pi}6+2k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

$\sin^2x-\frac{\sqrt3-1}2\sin x-\frac{\sqrt3}4<0$