Trigonometrijska nejednačina: sin x + cos 2x > 1

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sin x+\cos2x>1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

\sin x+\cos^2x-\sin^2x>1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$

\sin x+1-\sin^2x-\sin^2x>1 \\ \sin x-2\sin^2x>0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

\sin x(1-2\sin x)>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sin x$ i $1-2\sin{x}.$

Znak izraza $\sin{x}:$

$\sin{x}>0$ za:

x\in (0, \ \pi)

$\sin{x}<0$ za:

x\in(\pi,\ 2\pi)

Znak izraza $1-2\sin{x}:$

$1-2\sin{x}>0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}6\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{5\pi}6, \ 2\pi\bigg)

$1-2\sin{x}<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}6, \ \frac{5\pi}6\bigg)

x\in(0,\frac{\pi}6)

x\in(\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6)

x\in(\frac{5\pi}6,\pi)

x\in(\pi,2\pi)

\sin x

+

+

+

-

1-2\sin x

+

-

+

+

\sin x(1-2\sin x)

+

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in(0+2k\pi, \ \frac{\pi}6+2k\pi) \ \cup \ (\frac{5\pi}6+2k\pi, \ \pi+2k\pi), \quad k\in\mathbb{Z}

$\sin x+\cos2x>1$