897.

Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

sin⁡x+cos⁡2x>1\sin x+\cos2x>1
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha

sin⁡x+cos⁡2x−sin⁡2x>1\sin x+\cos^2x-\sin^2x>1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: sin⁡2α+cos⁡2α=1,\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1, gde je cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha

sin⁡x+1−sin⁡2x−sin⁡2x>1sin⁡x−2sin⁡2x>0\sin x+1-\sin^2x-\sin^2x>1 \\ \sin x-2\sin^2x>0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

sin⁡x(1−2sin⁡x)>0\sin x(1-2\sin x)>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: sin⁡x\sin x i 1−2sin⁡x.1-2\sin{x}.

Znak izraza sin⁡x:\sin{x}:

sin⁡x>0\sin{x}>0 za:

x∈(0, π)x\in (0, \ \pi)

sin⁡x<0\sin{x}<0 za:

x∈(π, 2π)x\in(\pi,\ 2\pi)

Znak izraza 1−2sin⁡x:1-2\sin{x}:

1−2sin⁡x>01-2\sin{x}>0 za:

x∈(0, π6) ∪ (5π6, 2π)x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}6\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{5\pi}6, \ 2\pi\bigg)
DODATNO OBJAŠNJENJE

1−2sin⁡x<01-2\sin{x}<0 za:

x∈(π6, 5π6)x\in\bigg(\frac{\pi}6, \ \frac{5\pi}6\bigg)
x∈(0,π6)x\in(0,\frac{\pi}6)
x∈(π6,5π6)x\in(\frac{\pi}6,\frac{5\pi}6)
x∈(5π6,π)x\in(\frac{5\pi}6,\pi)
x∈(π,2π)x\in(\pi,2\pi)
sin⁡x\sin x
++
++
++
−-
1−2sin⁡x1-2\sin x
++
−-
++
++
sin⁡x(1−2sin⁡x)\sin x(1-2\sin x)
++
−-
++
−-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x∈(0+2kπ, π6+2kπ) ∪ (5π6+2kπ, π+2kπ),k∈Zx\in(0+2k\pi, \ \frac{\pi}6+2k\pi) \ \cup \ (\frac{5\pi}6+2k\pi, \ \pi+2k\pi), \quad k\in\mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti