Podeli

898.
Trigonometrijska nejednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

2+\tg2x+\ctg2x<0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}, \ctg{\alpha}=\frac {\cos{\alpha}} {\sin{\alpha}}$

2+\frac{\sin2x}{\cos2x}+\frac{\cos2x}{\sin2x}<0

Svesti na isti imenilac.

\frac{2\sin2x\cos2x+\sin^22x+\cos^22x}{\sin2x\cos2x}<0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac{2\sin2x\cos2x+1}{\sin2x\cos2x}<0

Pomnožiti i podeliti izraz sa 2, kako bi se u imeniocu mogla primeniti formula za sinus dvostrukog ugla.

\frac{2\sin2x\cos2x+1}{\sin2x\cos2x}\cdot\frac22<0 \\ \frac{2(2\sin2x\cos2x+1)}{2\sin2x\cos2x}<0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

\frac{\sin4x+1}{\sin4x}<0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sin 4x+1$ i $\sin 4x.$

Znak izraza $\sin{4x}+1:$

$\sin{4x}+1>0$ za:

x\in\bigg(0,\ \frac{\pi}2\bigg)

DODATNO OBJAŠNJENJE

\sin4x>-1

Uvrstiti vrednosti za koje važi postavljeni uslov.

0<4x<2\pi \\ 0<x<\frac{\pi}2

$\sin{4x}+1<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}2, \ 2\pi\bigg)

Znak izraza $\sin{4x}:$

$\sin{4x}>0$ za:

x\in\bigg(0,\ \frac{\pi}4\bigg)

DODATNO OBJAŠNJENJE

Uvrstiti vrednosti za koje važi postavljeni uslov.

0<4x<\pi \\ 0<x<\frac{\pi}4

$\sin{4x}<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}4, \ 2\pi\bigg)

Kako je deljenje $0$ nedefinisano, dodaje se uslov:

\sin4x\not=0\implies x\not=(4k+2)\frac{\pi}8

x\in(0,\frac{\pi}4)

x\in(\frac{\pi}4,\frac{\pi}2)

x\in(\frac{\pi}2,2\pi)

\sin4x+1

+

+

-

\sin4x

-

+

+

\frac{\sin4x+1}{\sin4x}

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg((2k+1)\frac{\pi}4, \ (k+1)\frac{\pi}2\bigg), \quad x\not=(4k+2)\frac{\pi}8, \quad k\in\mathbb{Z}

898.Trigonometrijska nejednačina

898.
Trigonometrijska nejednačina