Trigonometrijska nejednačina: cos 2x > cos x

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\cos2x>\cos x, \quad x\in[0, \ 2\pi)

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

\cos^2x-\sin^2x>\cos x

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$

\cos^2x-1+\cos^2x-\cos x>0 \\ 2\cos^2x-\cos x-1>0

Uvesti smenu $\cos x=t.$

2t^2-t-1>0

Pronaći nule kvadratne funkcije:

2t^2-t-1=0

Primeniti formulu za rešavanje kvadratne jednačine: $x_{1,2}=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a},$ gde su: $a=2,$ $b=-1$ i $c=-1$

t_{1,2}=\frac {1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)}} {2\cdot2} \implies t_1=1, \quad t_2=-\frac12

Rastaviti nejednačinu po formuli: $a(x-x_1)(x-x_2) ,$ gde su $x_1$ i $x_2$ rešenja kvadratne jednačine $t_1$ i $t_2.$

2(t-1)(t+\frac12)>0

Vratiti $\cos x$ umesto smene $t:$

(\cos x-1)(\cos x+\frac12)>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\cos x-1$ i $\cos{x}+\frac12.$

Znak izraza $\cos{x}-1:$

Nejednačina $\cos x-1>0$ nema rešenja, jer je kosinusna funkcija definisana jedino u intervalu $(-1,\ 1).$

$\cos{x}-1<0$ za:

x\in[0, \ 2\pi)

Znak izraza $\cos{x}+\frac12:$

$\cos{x}+\frac12>0$ za:

x\in\bigg(0,\ \frac{2\pi}3\bigg) \ \cup \ \ \bigg(\frac{4\pi}3, \ 2\pi\bigg)

$\cos{x}+\frac12<0$ za:

x\in\bigg(\frac{2\pi}3, \ \frac{4\pi}3\bigg)

x\in(0,\frac{2\pi}3)

x\in(\frac{2\pi}3, \frac{4\pi}3)

x\in(\frac{4\pi}3, 2\pi)

\cos x-1

-

-

-

\cos x+\frac12

+

-

+

(\cos x-1)(\cos x+\frac12)

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg(\frac{2\pi}3, \ \frac{4\pi}3\bigg)

$\cos2x>\cos x$