Trigonometrijska nejednačina: sin 2x > cos x

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sin2x>\cos x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

2\sin x\cos x-\cos x>0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

\cos x(2\sin x-1)>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\cos x$ i $2\sin{x}-1.$

Znak izraza $\cos{x}:$

$\cos x>0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}2\bigg)\ \cup \ \bigg(\frac{3\pi}2, \ 2\pi\bigg)

$\cos x<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}2, \ \frac{3\pi}2\bigg)

Znak izraza $2\sin{x}-1:$

$2\sin{x}-1>0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}6, \ \frac{5\pi}6\bigg)

$2\sin{x}-1<0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}6\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac {\pi}6, \ 2\pi\bigg)

x\in(0, \frac{\pi}6)

x\in(\frac{\pi}6,\frac{\pi}2)

x\in(\frac{\pi}2,\frac{5\pi}6)

x\in(\frac{5\pi}6, \frac{3\pi}2)

x\in(\frac{3\pi}2,2\pi)

\cos x

+

+

-

-

+

2\sin x-1

-

+

+

-

-

\cos x(2\sin x-1)

-

+

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg(\frac{\pi}6+2k\pi , \ \frac{\pi}2+2k\pi\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{5\pi}6+2k\pi, \ \frac{3\pi}2+2k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

$\sin2x>\cos x$