Trigonometrijska nejednačina na intervalu 0 do 2 pi

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

1-\sin2x\le\cos x-\sin x, \quad x\in[0, \ 2\pi]

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

1-2\sin x\cos x\le\cos x-\sin x

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x\le\cos x-\sin x

Primeniti formulu za kvadrat razlike: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

(\cos x-\sin x)^2\le\cos x-\sin x \\ (\cos x-\sin x)^2-(\cos x-\sin x)\le0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x-1)\le0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\cos x-\sin x$ i $\cos{x}-\sin x-1.$

Znak izraza $\cos x-\sin{x}:$

$\cos x-\sin{x}\ge0$ za:

x\in\bigg[0,\ \frac{\pi}4\bigg]\ \cup \ \bigg[\frac{5\pi}4,\ 2\pi\bigg]

$\cos x-\sin{x}<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}4, \ \frac{5\pi}4\bigg)

Znak izraza $\cos x-\sin{x}-1:$

$\cos x-\sin{x}-1\ge0$ za:

x\in\bigg[\frac{3\pi}2, 2\pi\bigg]

x\in(0,\frac{\pi}4)

x\in(\frac{\pi}4, \frac{5\pi}4)

x\in(\frac{5\pi}4, \frac{3\pi}2)

x\in(\frac{3\pi}2, 2\pi)

\cos x-\sin x

+

-

+

+

\cos x-\sin x-1

-

-

-

+

(\cos x-\sin x)(\cos x-\sin x-1)

-

+

-

+

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg[0,\frac{\pi}4\bigg] \ \cup \ \bigg[\frac{5\pi}4, \frac{3\pi}2\bigg]

$1-\sin2x\le\cos x-\sin x$