Jednačina sin 3x + cos 2x = 1

Preobraziti sabirak kako bi se mogla primeniti formula za sinus zbira dva ugla:

\sin{(2x+x)}+\cos2x=1

Primeniti formulu za sinus zbira dva ugla: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

\sin2x\cos{x}+\cos2x\sin{x}+\cos2x=1

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

\sin2x\cos{x}+(\cos^2x-\sin^2x)\sin{x}+\cos^2x-\sin^2x=1

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2\sin{x}\cos^2{x}+(\cos^2x-\sin^2x)\sin{x}+\cos^2x-\sin^2x=1

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

2\sin{x}\cos^2{x}+(\cos^2x-\sin^2x)\sin{x}+1-2\sin^2x=1

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\sin{x}(2\cos^2{x}+\cos^2x-\sin^2x-2\sin{x})+1=1

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

\sin{x}(3\cos^2{x}-\sin^2x-2\sin{x})=0

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\sin{x}(-4\sin^2{x}-2\sin{x}+3)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin{x}=0 \lor 4\sin^2{x}+2\sin{x}-3=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kako bi se došlo do rešenja druge jednačine, potrebno je uvesti smenu i rešiti kvadratnu jednačinu:

\sin{x}=t

Rešavanjem kvadratne jednačine dobija se:

t_1=\frac {\sqrt{13}-1} 4 \quad\lor\quad t_2=-\frac {\sqrt{13}+1} 4

Zameniti smenu početnim izrazom:

\sin{x}=\frac {\sqrt{13}-1} 4 \quad\lor\quad \sin{x}=-\frac {\sqrt{13}+1} 4

Kako je sinusna funkcija definisana samo u skupu $[-1,1] ,$ jedno rešenje se ne uzima u obzir. Rešenje koje odgovara skupu je:

\sin{x}=\frac {\sqrt{13}-1} 4

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\arcsin\frac {\sqrt{13}-1} 4+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Konačno rešenje:

x\in \{k\pi,\arcsin\frac {\sqrt{13}-1} 4+k\pi \}, \quad k\in \mathbb{Z}

33. Trigonometrijske jednačine