Jednačina 1 − 2 kvadrat sinusa 8x jednako sin 4x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

1-2\sin^28x=\sin4x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus poluugla: $|\sin{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1-\cos{\alpha}} 2}$

1-1+\cos16x=\sin4x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos16x-\sin4x=0

Pretvoriti sinus u kosinus:

\cos16x-\cos(\frac {\pi} 2-4x)=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin\frac {12x+\frac {\pi} 2}2\sin\frac {20x-\frac {\pi} 2}2=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin\frac {12x+\frac {\pi} 2}2=0 \quad \lor\quad\sin\frac {20x-\frac {\pi} 2}2=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} {24}+\frac {k\pi} 6,\quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} {40}+\frac {k\pi} {10}, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{-\frac {\pi} {24}+\frac {k\pi} 6,\frac {\pi} {40}+\frac {k\pi} {10}\},\quad k\in \mathbb{Z}

58. Trigonometrijske jednačine