Homogena jednačina: smena tangens, koreni 3/2 i 1

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\sin^2{x}-5\sin{x}\cos{x}+3\cos^2{x}=0

REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa $\cos^2{x},$ uz uslov da je $\cos{x} \neq 0$

2 \space \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - 5\space \frac{\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}}+3\frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = 0

Iskoristiti jednakosti: $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tg{x}$ i $\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \tg^2{x}$ i zameniti ih u jednačinu.

2 \tg^2{x} - 5\tg{x}+3 = 0

Uvesti smenu: $t=\tg{x}.$

2 t^2 - 5t+3 = 0

Rešiti kvadratnu jednačinu primenom formule: $t_{1, 2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a},$ gde su $a=2, \space b=-5, \space c=3.$

t_1 =\frac{3}{2} \quad \lor \quad t_2= 1

Vraćanjem smene $t=\tg{x}$ dobija se:

\tg{x} =\frac{3}{2} \quad \lor \quad \tg{x}= 1

Rešenja jednačine su:

x=\arctg{\frac{3}{2}} + k\pi \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

1. Homogena jednačina