Homogena jednačina: tangens kvadrat − 4 tangens + 3

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3\sin^2x-4\sin{x}\cos{x}+5\cos^2x=2

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ i osloboditi se zagrade množenjem:

3\sin^2x-4\sin{x}\cos{x}+5\cos^2x=2\sin^2x+2\cos^2x

Podeliti obe strane jednačine sa $\cos^2{x},$ uz uslov da je $\cos{x} \neq 0$

\frac {3\sin^2x} {\cos^2x}-\frac{4\sin{x}\cos{x}} {\cos^2x}+\frac {5\cos^2x} {\cos^2x}=\frac {2\sin^2x}{\cos^2x}+\frac {2\cos^2x} {\cos^2x}

Iskoristiti jednakosti: $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tg{x}$ i $\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \tg^2{x}$ i zameniti ih u jednačinu.

3\tg^2x-4\tg{x}+5=2\tg^2x+2

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\tg^2x-4\tg{x}+3=0

Uvesti smenu: $t=\tg{x}.$

t^2-4t+3=0

Rešiti kvadratnu jednačinu primenom formule: $t_{1, 2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a},$ gde su $a=1, \space b=-4, \space c=3.$

t_1=3\quad\lor\quad t_2=1

Vraćanjem smene $t=\tg{x}$ dobija se:

\tg{x}=3\quad\lor\quad \tg{x}=1

Rešenja jednačine su:

x=\arctg3+k\pi \quad\lor\quad x=\frac {\pi} 4+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

3. Homogena jednačina