Jednačina sa sinusom, kosinusom i tangensom x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}+\cos{x}+\tg{x}=\frac 1 {\cos{x}}

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslove pri kojima je jednačina jedino moguća:

x\not =\frac {\pi} 2+k\pi, k\in Z

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

\sin{x}+\cos{x}+\frac {\sin{x}} {\cos{x}}=\frac 1 {\cos{x}}

Pomnožiti ceo izraz sa $\cos{x}:$

\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}+\sin{x}=1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}+\sin{x}-1=0

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

\sin{x}\cos{x}-\sin^2{x}+\sin{x}=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\sin{x}(\cos{x}-\sin{x}+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin{x}=0 \quad\lor \quad\cos{x}-\sin{x}+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se rešenje, koje je ujedno i konačno:

x=k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se rešenje koje ne odgovara uslovu jednačine, tako da se ono ne uzima u obzir:

x=\frac {\pi} 2+k\pi

42. Trigonometrijske jednačine