Homogena jednačina: izvlačenje tangensa iz zagrade

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos^2x+3\sin^2x+2\sqrt3\sin{x}\cos{x}=1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\cos^2x+3\sin^2x+2\sqrt3\sin{x}\cos{x}=\sin^2x+\cos^2x

Podeliti obe strane jednačine sa $\cos^2{x},$ uz uslov da je $\cos{x} \neq 0$

\frac {\cos^2x} {\cos^2x}+\frac {3\sin^2x}{\cos^2x}+\frac {2\sqrt3\sin{x}\cos{x}} {\cos^2x}=\frac {\sin^2x} {\cos^2x}+\frac {\cos^2x}{\cos^2x}

Iskoristiti jednakosti: $\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tg{x}$ i $\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \tg^2{x}$ i zameniti ih u jednačinu.

1+3\tg^2x+2\sqrt3\tg{x}=\tg^2x+1

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\tg^2x+2\sqrt3\tg{x}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\tg{x}(\tg{x}+\sqrt3)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\tg{x}=0\quad\lor\quad \tg{x}+\sqrt3=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {2\pi} 3+k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje:

x\in\{\frac {2\pi} 3+k\pi, k\pi\},\quad k \in \mathbb{Z}

4. Homogena jednačina