Jednačina sa kvadratima i sinusom dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\sin^2x+\cos^2x=\frac 3 2\sin2x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2\sin^2x+\cos^2x=3\sin{x}\cos{x}

Pomnožiti ceo izraz sa $\frac 1 {\cos^2x} :$

2\tg^2x+1=3\tg{x}

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

2\tg^2x-3\tg{x}+1=0

Uvesti smenu:

\tg{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^2-3t+1=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=\frac 1 2\quad \lor\quad t_2=1

Zameniti smenu početnim izrazom:

\tg{x}=\frac 1 2\quad\lor\quad \tg{x}=1

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\arctg{\frac 1 2}+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 4+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Konačno rešenje:

x\in\{\arctg{\frac 1 2}+k\pi, \frac {\pi} 4+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

35. Trigonometrijske jednačine