Tangens poluugla: 2 tg(x/2) kroz 1 + tg kvadrat (x/2)

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

\frac {2\tg{\frac x 2 }} {1+\tg^2{\frac x 2 }}, x \mathrlap{\,/}{=}\pi(2k+1), k \in Z

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

\frac {2 \frac {\sin{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}} {1+\frac {\sin^2{\frac x 2 }} {\cos^2{\frac x 2 }}}

Zapisati 1 na drugačiji način kako bi se lakše sabrali razlomci u imeniocu:

\frac {2 \frac {\sin{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}} {\frac {\cos^2{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}}+\frac {\sin^2{\frac x 2 }} {\cos^2{\frac x 2 }} } = \frac{2 \frac {\sin{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}} {\frac {\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}}}

Pomnožiti brojilac sa $1=\frac {\cos{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}$ kako bi se dobila podloga za jednostavnije rešavanje dvojnog razlomka:

\frac{2 \frac {\sin{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}\cdot1} {\frac {\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}}}= \frac{2 \frac {\sin{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}\cdot \frac{\cos{\frac x 2}} {\cos{\frac x 2}}} {\frac {\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}}}=\frac{2 \frac {\sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}}} {\frac {\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}}}

Osloboditi se dvojnog razlomka:

\frac{2\cos^2{\frac x 2} \sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}(\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2})}

Skratiti zajedničke činioce:

\frac{2\cancel{\cos^2{\frac x 2}} \sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}} {\cancel{\cos^2{\frac x 2}}(\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2})}=\frac{2 \sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}} {\cos^2{\frac x 2}+\sin^2{\frac x 2}}

Iskoristiti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\frac{2 \sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}} 1=2 \sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2 \sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}=\sin{x}

Adicione formule - poluugao 1