287. Adicione formule | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

\frac {\tg{x}} {1+\tg{x}}+\frac {\tg{(x+\pi)}} {1-\tg{x}}

REŠENJE ZADATKA

Svesti na isti imenilac:

\frac {\tg{x}(1-\tg{x})+\tg{(x+\pi)}(1+\tg{x})} {(1+\tg{x})(1-\tg{x})}

Osloboditi se zagrada:

\frac {\tg{x}-\tg^2{x}+\tg{(x+\pi)}+\tg{(x+\pi)}\tg{x}} {(1+\tg{x})(1-\tg{x})}

Svesti trigonometrijske funkcije na oštar ugao:

\frac {\tg{x}-\tg^2{x}+\tg{x}+\tg^2{x}} {(1+\tg{x})(1-\tg{x})}=\frac {2\tg{x}} {(1+\tg{x})(1-\tg{x})}

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

\frac {2\tg{x}} {1-\tg^2{x}}

Prepoznati da je dobijena formula za tangens dvostrukog ugla: $\tg{2\alpha}=\frac {2\tg{\alpha}} {1-\tg^2{\alpha}}, \alpha \mathrlap{\,/}{=} \frac {\pi} 2(2k+1), \alpha \mathrlap{\,/}{=} \frac {\pi} 4(2n+1), k,n \in Z$

\frac {2\tg{x}} {1-\tg^2{x}}=\tg{2x}

Adicione formule - dvostruki ugao 3