Jednačina sa četvrtim stepenima i proizvodom

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin^4x+\cos^4x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

REŠENJE ZADATKA

Dodati i oduzeti $2\sin^2x\cos^2x$ kako bi se mogla primeniti formula za kvadrat binoma:

\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

Primeniti formulu za kvadrat binoma: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$

(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

1-2\sin^2x\cos^2x=\frac 7 2\sin{x}\cos{x}

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

1-2\sin^2x\cos^2x-\frac 7 2\sin{x}\cos{x}=0

Pomnožiti ceo izraz sa -2:

4\sin^2x\cos^2x+7\sin{x}\cos{x}-2=0

Uvesti smenu:

\sin{x}\cos{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

4t^2+7t-2=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-2 \quad\lor\quad t_2=\frac 1 4

Zameniti smenu početnim izrazom:

\sin{x}\cos{x}=-2 \quad\lor\quad \sin{x}\cos{x}=\frac 1 4

Kako su i sinusna i kosinusna funkcija definisane samo u skupu $[-1,1] ,$ jedno rešenje se ne uzima u obzir. Rešenje koje odgovara skupu je:

\sin{x}\cos{x}=\frac 1 4

Kako bi se došlo do rešenja jednačine, potrebno je primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} :$

\frac 1 2\sin{2x}=\frac 1 4

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

\sin{2x}=\frac 1 2

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} {12}+k\pi \lor x=\frac {5\pi} {12}+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

34. Trigonometrijske jednačine