Linearna jednačina sa sin 13x, cos 13x i sin 17x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin13x+\cos13x=\sqrt2\sin17x

REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2+ 1^2} = \sqrt{1+1}=\sqrt2,$ gde su $a$ i $b$ koeficijenti koji stoje uz $\sin{x}$ i $\cos{x}$

\frac{\sqrt2}2\sin13x+\frac {\sqrt2}2\cos13x=\sin17x

Koeficijent $\frac {\sqrt2}2$ zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: $\cos{\frac{\pi}{4}}$ i $\sin\frac {\pi}4$

\cos\frac {\pi} 4\sin13x+\sin\frac {\pi} 4\cos13x=\sin17x

Leva strana jednačine može se napisati kao sinus zbira dva ugla koristeći formulu: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

\sin(\frac {\pi} 4+13x)=\sin17x

Rešenja jednačine su:

17x-(13x+\frac{\pi}4)=2k\pi \quad\lor\quad 17x+(13x+\frac{\pi}4)=\pi+k\pi \quad, k \in \mathbb{Z}

x=\frac {\pi} {16}+\frac {k\pi}2 \quad\lor\quad x=\frac {\pi} {40}+\frac {k\pi} {15}, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

2. Linearna jednačina

Beleške