Jednačina sa kosinusom pi/2 plus 5x i sinusom x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos(\frac {\pi} 2+5x)+\sin{x}=2\cos3x

REŠENJE ZADATKA

Pretvoriti kosinus u sinus:

\sin{x}-\sin5x=2\cos3x

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\cos3x\sin2x=2\cos3x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos3x\sin2x+2\cos3x=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\cos3x(\sin2x+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos3x=0 \quad \lor \quad \sin2x+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} 4+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{-\frac {\pi} 4+k\pi, \frac {\pi} 6+\frac {k\pi} 3\}, \quad k\in \mathbb{Z}

54. Trigonometrijske jednačine