Jednačina sinus x jednak kosinusu 2x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}=\cos2x

REŠENJE ZADATKA

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

\sin{x}-\cos2x=0

Pretvoriti sinus u kosinus:

\cos{(\frac {\pi} 2-x)}-\cos2x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin{\frac {{\frac {\pi} 2}+x} 2}\sin{\frac {{\frac {\pi} 2}-3x} 2}=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin{\frac {{\frac {\pi} 2}+x} 2}=0 \quad \lor \quad \sin{\frac {{\frac {\pi} 2}-3x} 2}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} 2+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 6+\frac 2 3k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x=\frac {\pi} 6+\frac 2 3k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

49. Trigonometrijske jednačine