PrethodniSledeći
449.

45. Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

cos⁡2xcos⁡3x=cos⁡5x\cos2x\cos3x=\cos5x
REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju proizvoda u zbir ili razliku: cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)) \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac 1 2(\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)})

12(cos⁡5x+cos⁡x)=cos⁡5x\frac 1 2(\cos{5x}+\cos{x})=\cos5x

Osloboditi se zagrade množenjem:

12cos⁡5x+12cos⁡x=cos⁡5x\frac 1 2\cos{5x}+\frac 1 2\cos{x}=\cos5x

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

cos⁡5x+cos⁡x=2cos⁡5x\cos{5x}+\cos{x}=2\cos5x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

cos⁡x−cos⁡5x=0\cos{x}-\cos5x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2 \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}

−2sin⁡3xsin⁡(−2x)=0-2\sin{3x}\sin{(-2x)}=0

Jednačina ima dva rešenja:

sin⁡3x=0∨sin⁡(−2x)=0\sin3x=0\quad \lor\quad \sin{(-2x)}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=kπ3,k∈Zx=\frac {k\pi} 3,\quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=kπ2,k∈Zx=\frac {k\pi} 2,\quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x∈{kπ2,kπ3},k∈Zx\in\{\frac {k\pi} 2, \frac {k\pi} 3\},\quad k\in \mathbb{Z}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu