Jednačina sin 3x sin 2x jednako sin 11x sin 10x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin3x\sin2x=\sin11x\sin10x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju proizvoda u zbir ili razliku: $\sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac 1 2(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)})$

\frac 12 (\cos{x}-\cos5x)=\frac 1 2(\cos{x}-\cos21x)

Skratiti zajedničke činioce:

\cos{x}-\cos5x=\cos{x}-\cos21x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos21x-\cos5x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin13x\sin8x=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin13x=0 \quad\lor\quad \sin8x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} {13}, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 8, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {k\pi} {13}, \frac {k\pi} 8\},\quad k\in \mathbb{Z}

46. Trigonometrijske jednačine