350. Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{3x}+\sin{12\degree}=0

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju zbira u proizvod: $\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\sin{\frac {3x+12\degree} 2}\cos{\frac {3x-12\degree} 2}=0

Proizvod će biti jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli.

\sin{\frac {3x+12\degree} 2}=0 \lor \cos{\frac {3x-12\degree} 2}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} {45}+\frac 2 3k\pi, k \in Z

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {3x+12\degree} 2=0+k\pi

3x+12\degree=0+2k\pi

3x=-12\degree+2k\pi

3x=-\frac {2\pi} {30}+2k\pi

x=-\frac {2\pi} {90}+\frac 2 3k\pi

x=-\frac {\pi} {45}+\frac 2 3k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {16\pi} {45}+\frac 2 3k\pi , k\in Z

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {3x-12\degree} 2=\frac {\pi} 2+k\pi

3x-12\degree=\pi+2k\pi

3x-\frac {\pi} {15}=\pi+2k\pi

3x=\pi+\frac {\pi} {15}+2k\pi

3x=\frac {16\pi} {15}+2k\pi

x=\frac {16\pi} {45}+\frac 2 3k\pi

2. Trigonometrijske jednačine