Jednačina cos x cos 3x jednako cos 5x cos 7x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos{x}\cos3x=\cos5x\cos7x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju proizvoda u zbir ili razliku: $\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac 1 2(\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)})$

\frac 1 2(\cos4x+\cos2x)=\frac 1 2(\cos12x+\cos2x)

Skratiti zajedničke činioce:

\cos4x+\cos2x=\cos12x+\cos2x

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

\cos4x-\cos12x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin8x\sin4x=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin8x=0 \quad \lor\quad\sin4x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 8, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 4,\quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x=\frac {k\pi} 8, \quad k\in \mathbb{Z}

48. Trigonometrijske jednačine