Jednačina sa sinusom zbira pi/3 i x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin(\frac {\pi} 3+x)-\sin{x}=\frac 12

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\cos{\frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2}\sin{\frac {\pi} 6}=\frac 1 2

Uvrstiti vrednosti trigonometrijskih funkcija:

\cos{\frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2}=\frac 1 2

Upotrebiti matematičku kružnicu:

\frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2=\frac {\pi} 3 \quad \lor \quad \frac {{\frac {\pi} 3}+2x} 2=-\frac {\pi} 3

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac{\pi} 6+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} 2+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{-\frac {\pi} 2+2k\pi, \frac{\pi} 6+2k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

50. Trigonometrijske jednačine