Jednačina sa četiri sinusa uglova x do 4x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}-\sin2x+\sin3x-\sin4x=0

REŠENJE ZADATKA

Grupisati sabirke:

(\sin{x}+\sin3x)-(\sin2x+\sin4x)=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\sin2x\cos{x} -2\sin3x\cos{x}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\cos{x}(\sin2x -\sin3x)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos{x}=0 \quad \lor \quad \sin2x -\sin3x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} 5+\frac 2 5k\pi \lor x=2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {\pi} 5+\frac 2 5k\pi, \frac {\pi} 2+k\pi,2k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

51. Trigonometrijske jednačine