Trigonometrijska jednačina: sin x + sin 2x + sin 3x = 0

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}+\sin2x+\sin3x=0

REŠENJE ZADATKA

Grupisati sabirke na sledeći način:

(\sin{x}+\sin3x)+\sin2x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

2\sin2x\cos{x}+\sin2x=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\sin2x(2\cos{x}+1)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin2x=0 \quad \lor \quad 2\cos{x}+1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {k\pi} 2, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} 2+2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\frac {\pi} 2+2k\pi, \frac {k\pi} 2\}, \quad k\in \mathbb{Z}

53. Trigonometrijske jednačine