Jednačina sa svođenjem na oštar ugao i poluuglom

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

3\sin(\frac {\pi} 2-x)-4\sin(\pi+x)\sin(\frac {5\pi} 2+x)+8\cos^2\frac x2=4

REŠENJE ZADATKA

Svesti trigonometrijske funkcije na oštar ugao:

3\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}+8\cos^2\frac x2=4

Primeniti formulu za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}$

3\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}+4(1+\cos{x})=4

Osloboditi se zagrade množenjem:

3\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}+4+4\cos{x}=4

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

7\cos{x}+4\sin{x}\cos{x}=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\cos{x}(7+4\sin{x})=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos{x}=0 \quad\lor\quad 7+4\sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se konačno rešenje:

x=\frac {\pi}2 +k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine ne dobija se rešenje, jer je sinusna funkcija definisana jedino u skupu [-1,1]:

\sin{x}=-\frac 74

67. Trigonometrijske jednačine