Podeli

468.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

4\sin^2x\cos{x}-4\sin^3x+3\sin{x}-\cos{x}=0

REŠENJE ZADATKA

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

4(1-\cos^2x)\cos{x}-4\sin^3x+3\sin{x}-\cos{x}=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

4\cos{x}-4\cos^3x-4\sin^3x+3\sin{x}-\cos{x}=0

Srediti izraz:

3\cos{x}-4\cos^3x-4\sin^3x+3\sin{x}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrada:

3(\sin{x}+\cos{x})-4(\sin^3x+\cos^3x)=0

Primeniti formulu za zbir kubova: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

3(\sin{x}+\cos{x})-4(\sin{x}+\cos{x})(\sin^2x-\sin{x}\cos{x}+\cos^2x)=0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

3(\sin{x}+\cos{x})-4(\sin{x}+\cos{x})(1-\sin{x}\cos{x})=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

(\sin{x}+\cos{x})(3-4(1-\sin{x}\cos{x}))=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

(\sin{x}+\cos{x})(4\sin{x}\cos{x}-1)=0

DODATNO OBJAŠNJENJE

(\sin{x}+\cos{x})(3-4+4\sin{x}\cos{x})=0

Jednačina ima dva rešenja:

\sin{x}+\cos{x}=0\quad\lor\quad 4\sin{x}\cos{x}-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=-\frac {\pi} 4+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Kvadrirati jednačinu:

(\sin{x}+\cos{x})^2=0^2

\sin^2x+2\sin{x}\cos{x}+\cos^2x=0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

1+2\sin{x}\cos{x}=0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

1+\sin2x=0

Prebaciti 1 na drugu stranu znaka jednakosti:

\sin2x=-1

Rešavanjem jednačine dobija se:

2x=-\frac {\pi} 2+2k\pi

Rešavanjem druge jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\frac {\pi} {12}+k\pi \lor x=\frac {5\pi} {12}+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Prebaciti -1 na drugu stranu znaka jednakosti:

4\sin{x}\cos{x}=1

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2\sin2x=1

Podeliti ceo izraz sa 2:

\sin2x=\frac 12

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

2x=\frac {\pi} 6+2k\pi \quad\lor\quad 2x=(\pi-\frac {\pi} 6)+2k\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{-\frac {\pi} 4+k\pi,\frac {\pi} {12}+k\pi , \frac {5\pi} {12}+k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

468.Trigonometrijska jednačina