463.

Homogena trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2sin⁡2x−5sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x=02\sin^2{x}-5\sin{x}\cos{x}+3\cos^2{x}=0
REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa cos⁡2x,\cos^2{x}, uz uslov da je cos⁡x≠0\cos{x} \neq 0

2 sin⁡2xcos⁡2x−5 sin⁡xcos⁡xcos⁡2x+3cos⁡2xcos⁡2x=02 \space \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - 5\space \frac{\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}}+3\frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = 0

Iskoristiti jednakosti: sin⁡xcos⁡x=tg⁡x\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tg{x} i sin⁡2xcos⁡2x=tg⁡2x\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} = \tg^2{x} i zameniti ih u jednačinu.

2tg⁡2x−5tg⁡x+3=02 \tg^2{x} - 5\tg{x}+3 = 0

Uvesti smenu: t=tg⁡x.t=\tg{x}.

2t2−5t+3=02 t^2 - 5t+3 = 0

Rešiti kvadratnu jednačinu primenom formule: t1,2=−b±b2−4ac2a,t_{1, 2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}, gde su a=2, b=−5, c=3.a=2, \space b=-5, \space c=3.

t1=32∨t2=1t_1 =\frac{3}{2} \quad \lor \quad t_2= 1

Vraćanjem smene t=tg⁡xt=\tg{x} dobija se:

tg⁡x=32∨tg⁡x=1\tg{x} =\frac{3}{2} \quad \lor \quad \tg{x}= 1

Rešenja jednačine su:

x=arctg⁡32+kπ∨x=π4+kπ,k∈Zx=\arctg{\frac{3}{2}} + k\pi \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti