469.

Homogena trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

4sin⁡x−6cos⁡x=14\sin{x}-6\cos{x}=1
REŠENJE ZADATKA

Transformisati jednačinu na funkcije poluugla:

4sin⁡(2⋅x2)−6cos⁡(2⋅x2)=14\sin(2\cdot\frac x2)-6\cos(2\cdot\frac x2)=1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

4sin⁡(2⋅x2)−6cos⁡(2⋅x2)=sin⁡2x2+cos⁡2x24\sin(2\cdot\frac x2)-6\cos(2\cdot\frac x2)=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}

4⋅2sin⁡x2cos⁡x2−6cos⁡(2⋅x2)=sin⁡2x2+cos⁡2x24\cdot2\sin\frac x2\cos\frac x2-6\cos(2\cdot\frac x2)=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}

8sin⁡x2cos⁡x2−6(cos⁡2x2−sin⁡2x2)=sin⁡2x2+cos⁡2x28\sin\frac x2\cos\frac x2-6(\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x 2)=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Osloboditi se zagrade množenjem:

8sin⁡x2cos⁡x2−6cos⁡2x2+6sin⁡2x2=sin⁡2x2+cos⁡2x28\sin\frac x2\cos\frac x2-6\cos^2\frac x2+6\sin^2\frac x 2=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

5sin⁡2x2+8sin⁡x2cos⁡x2−7cos⁡2x2=05\sin^2\frac x 2+8\sin\frac x2\cos\frac x2-7\cos^2\frac x2=0
DODATNO OBJAŠNJENJE

Podeliti obe strane jednačine sa cos⁡2x2,\cos^2\frac x 2, uz uslov da je cos⁡x2≠0\cos\frac x 2 \neq 0

5sin⁡2x2cos⁡2x2+8sin⁡x2cos⁡x2cos⁡2x2−7cos⁡2x2cos⁡2x2=0\frac {5\sin^2\frac x 2} {\cos^2\frac x 2}+\frac{8\sin\frac x2\cos\frac x2} {\cos^2\frac x 2}-\frac {7\cos^2\frac x2} {\cos^2\frac x 2}=0

Iskoristiti jednakosti: sin⁡αcos⁡α=tg⁡α\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \tg{\alpha} i sin⁡2αcos⁡2α=tg⁡2α\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}} = \tg^2{\alpha} i zameniti ih u jednačinu.

5tg⁡2x2+8tg⁡x2−7=05\tg^2\frac x2+8\tg\frac x 2-7=0

Uvesti smenu: t=tg⁡x2.t=\tg\frac x 2.

5t2+8t−7=05t^2+8t-7=0

Rešiti kvadratnu jednačinu primenom formule: t1,2=−b±b2−4ac2a,t_{1, 2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}, gde su a=5, b=8, c=−7.a=5, \space b=8, \space c=-7.

t1=−4+515∨t2=−4−515t_1=\frac {-4+\sqrt{51}} 5 \quad\lor\quad t_2=\frac {-4-\sqrt{51}} 5

Vraćanjem smene t=tg⁡x2t=\tg\frac x2 dobija se:

tg⁡x2=−4+515∨tg⁡x2=−4−515\tg\frac x2=\frac {-4+\sqrt{51}} 5 \quad\lor\quad \tg\frac x2=\frac {-4-\sqrt{51}} 5

Rešenja jednačine su:

x=2kπ+2arctg⁡−4+515∨x=2kπ+2arctg⁡−4−515,k∈Zx=2k\pi+2\arctg\frac {-4+\sqrt{51}} 5 \quad\lor\quad x=2k\pi+2\arctg\frac {-4-\sqrt{51}} 5, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti