Homogena jednačina: 4 sin x − 6 cos x = 1 poluugao

Transformisati jednačinu na funkcije poluugla:

4\sin(2\cdot\frac x2)-6\cos(2\cdot\frac x2)=1

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

4\sin(2\cdot\frac x2)-6\cos(2\cdot\frac x2)=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

4\cdot2\sin\frac x2\cos\frac x2-6\cos(2\cdot\frac x2)=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

8\sin\frac x2\cos\frac x2-6(\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x 2)=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Osloboditi se zagrade množenjem:

8\sin\frac x2\cos\frac x2-6\cos^2\frac x2+6\sin^2\frac x 2=\sin^2\frac x 2+\cos^2\frac x 2

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

5\sin^2\frac x 2+8\sin\frac x2\cos\frac x2-7\cos^2\frac x2=0

Podeliti obe strane jednačine sa $\cos^2\frac x 2,$ uz uslov da je $\cos\frac x 2 \neq 0$

\frac {5\sin^2\frac x 2} {\cos^2\frac x 2}+\frac{8\sin\frac x2\cos\frac x2} {\cos^2\frac x 2}-\frac {7\cos^2\frac x2} {\cos^2\frac x 2}=0

Iskoristiti jednakosti: $\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \tg{\alpha}$ i $\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}} = \tg^2{\alpha}$ i zameniti ih u jednačinu.

5\tg^2\frac x2+8\tg\frac x 2-7=0

Uvesti smenu: $t=\tg\frac x 2.$

5t^2+8t-7=0

Rešiti kvadratnu jednačinu primenom formule: $t_{1, 2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a},$ gde su $a=5, \space b=8, \space c=-7.$

t_1=\frac {-4+\sqrt{51}} 5 \quad\lor\quad t_2=\frac {-4-\sqrt{51}} 5

Vraćanjem smene $t=\tg\frac x2$ dobija se:

\tg\frac x2=\frac {-4+\sqrt{51}} 5 \quad\lor\quad \tg\frac x2=\frac {-4-\sqrt{51}} 5

Rešenja jednačine su:

x=2k\pi+2\arctg\frac {-4+\sqrt{51}} 5 \quad\lor\quad x=2k\pi+2\arctg\frac {-4-\sqrt{51}} 5, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

2. Homogena jednačina

Beleške