Podeli

467.
Trigonometrijska jednačina

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos^2(\frac {\pi}3\cos{x}-\frac {8\pi} 3)=1

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}$

\frac {1+\cos(\frac {2\pi}3\cos{x}-\frac {16\pi} 3)} 2=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {1+\cos{\alpha}} 2=\cos^2{\frac {\alpha} 2}

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

1+\cos(\frac {2\pi}3\cos{x}-\frac {16\pi} 3)=2

Prebaciti 1 na drugu stranu znaka jednakosti:

\cos(\frac {2\pi}3\cos{x}-\frac {16\pi} 3)=1

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos(\frac {2\pi}3\cos{x}-\frac {16\pi} 3)=2-1

Rešavanjem jednačine dobija se:

\frac {2\pi}3\cos{x}-\frac {16\pi} 3=2k\pi

Pomnožiti ceo izraz sa 3:

2\pi\cos{x}-16\pi=6k\pi

Prebaciti $16\pi$ na drugu stranu znaka jednakosti:

2\pi\cos{x}=6k\pi+16\pi

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

2\pi\cos{x}=\pi(6k+16)

Podeliti ceo izraz sa $2\pi$ i skratiti zajedničke činioce:

\cos{x}=3k+8

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{x}=\frac{\pi(6k+16)} {2\pi}

\cos{x}=\frac{\cancel\pi(6k+16)} {2\cancel\pi}

\cos{x}=\frac{6k+16} 2

Dobijena jednačina ima rešenja jedino ako je: $-1\le3k+8\le1$ (zato što je kosinusna funkcija definisana samo u skupu [-1,1]), tj. $-9\le3k\le-7.$ Kako $k$ pripada skupu celih brojeva ( $k\in \mathbb{Z}$ ), dobija se jedino moguće rešenje za $k:$

k=-3\Rightarrow\cos{x}=-1

DODATNO OBJAŠNJENJE

\cos{x}=3\cdot(-3)+8

\cos{x}=-9+8

Rešavanjem jednačine dobija se konačno rešenje:

x=\pi+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

467.Trigonometrijska jednačina

467.
Trigonometrijska jednačina