Jednačina sa kvadratima sinusa x, cos 2x i sin 3x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin^2x+\cos^22x+\sin^23x=\frac 32

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus poluugla: $|\sin{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1-\cos{\alpha}} 2}$

\frac {1-\cos2x} 2+\cos^22x+\frac {1-\cos6x}2=\frac 32

Primeniti formulu za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2}$

\frac {1-\cos2x} 2+\frac {1+\cos4x}2+\frac {1-\cos6x}2=\frac 32

Pomnožiti ceo izraz sa 2:

1-\cos2x+1+\cos4x+1-\cos6x=3

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

3-\cos2x+\cos4x-\cos6x-3=0

Grupisati sabirke:

-(\cos2x+\cos6x)+\cos4x=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac {\alpha+\beta} 2}\cos{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\cos4x\cos2x+\cos4x=0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

\cos4x(1-2\cos2x)=0

Jednačina ima dva rešenja:

\cos4x=0\quad\lor\quad1-2\cos2x=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 8+\frac {k\pi} 4, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\frac {\pi} 6+k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pm\frac {\pi} 6+k\pi,\frac {\pi} 8+\frac {k\pi} 4\}, \quad k\in \mathbb{Z}

60. Trigonometrijske jednačine