Jednačina razlika četvrtih stepena jednaka cos x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin^4x-\cos^4x=\cos{x}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)=\cos{x}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

\sin^2x-\cos^2x=\cos{x}

Iz osnovne relacije: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ izraziti: $\sin^2\alpha =1-\cos^2\alpha$ i zameniti u jednakost:

1-2\cos^2x=\cos{x}

Prebaciti sve sabirke na jednu stranu znaka jednakosti:

2\cos^2x+\cos{x}-1=0

Uvesti smenu:

\cos{x}=t

Uvrstiti smenu u izraz:

2t^2+t-1=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobijaju se dva rešenja:

t_1=-1 \quad\lor\quad t_2=\frac 1 2

Zameniti smenu početnim izrazom:

\cos{x}=-1 \quad\lor\quad \cos{x}=\frac 1 2

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pi+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\pm\frac {\pi} 3+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in\{\pm\frac {\pi} 3+2k\pi,\pi+2k\pi\}, \quad k\in \mathbb{Z}

59. Trigonometrijske jednačine