Jednačina sa četvrtim stepenima sinusa i kosinusa

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

2\sin^4x-2\cos^4x-1=0, x\in\lbrack-\pi,\pi\rbrack

REŠENJE ZADATKA

Izvući zajednički činilac ispred zagrade:

2(\sin^4x-\cos^4x)-1=0

Primeniti formulu za razliku kvadrata: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

2(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)-1=0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1:$

2(\sin^2x-\cos^2x)-1=0

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ gde je $\sin^2{x}=1-\cos^2{x}:$

2(1-2\cos^2x)-1=0

Osloboditi se zagrade množenjem:

2-4\cos^2x-1=0

Prebaciti poznate na jednu, a nepoznate na drugu stranu znaka jednakosti:

4\cos^2x=1

Podeliti ceo izraz sa 4:

\cos^2x=\frac 1 4

Korenovati izraz:

\cos{x}=\pm\frac 1 2

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

x=\pm\frac {\pi} 3+k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

Za $x=\frac {\pi} 3+k\pi$ uzimaju se vrednosti za $k=-1,0,$ pošto $x \in \lbrack-\pi, \pi \rbrack,$ što daje rešenja:

x\in \{-\frac {3\pi} 4, \frac {\pi} 4\}

Za $x=-\frac {\pi} 3+k\pi$ uzima se vrednost za $k=0,$ pošto $x \in \lbrack-\pi, \pi \rbrack,$ što daje rešenje:

x\in\{-\frac {\pi} 4\}

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x\in \{-\frac {3\pi} 4, -\frac {\pi} 4, \frac {\pi} 4\}

22. Trigonometrijske jednačine