Linearna jednačina: koren iz 3 sin x + cos x = 1

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x}=1

REŠENJE ZADATKA

Podeliti obe strane jednačine sa: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+ 1^2} = \sqrt{3+1}=2,$ gde su $a$ i $b$ koeficijenti koji stoje uz $\sin{x}$ i $\cos{x}$

\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} + \frac{1}{2}\cos{x}=\frac{1}{2}

Koeficijente $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\frac{1}{2}$ zameniti njihovim trigonometrijskim vrednostima: $\sin{\frac{\pi}{6}}$ i $\cos{\frac{\pi}{6}}$

\cos{\frac{\pi}{6}}\sin{x} + \sin{\frac{\pi}{6}}\cos{x}=\frac{1}{2}

Leva strana jednačine može se napisati kao sinus zbira dva ugla koristeći formulu: $\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

\sin{(\frac{\pi}{6}+x)} = \frac{1}{2}

Rešenja jednačine su:

\frac{\pi}{6}+x = \frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \lor \quad \frac{\pi}{6}+x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

x = 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

1. Linearna jednačina

Beleške