Jednačina sa razlomkom sin x kroz 1 + cos x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\frac {\sin{x}} {1+\cos{x}}=\sin{\frac x 2}

REŠENJE ZADATKA

Primenom formule za kosinus poluugla: $|\cos{\frac {\alpha} 2} |=\sqrt{\frac {1+\cos{\alpha}} 2} ,$ zaključuje se sledeće:

2\cos^2{\frac x 2}=1+\cos{x}

Zamenom i unakrsnim množenjem izraza dobija se:

\sin{x}=2\cos^2\frac x 2\sin{\frac x 2}

Prebaciti nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti:

\sin{x}-2\cos^2\frac x 2\sin{\frac x 2}=0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2\sin{\frac x 2}\cos{\frac x 2}-2\cos^2\frac x 2\sin{\frac x 2}=0

Izvući zajedničke činioce ispred zagrade:

2\cos\frac x 2\sin{\frac x 2}(1-\cos{\frac x 2})=0

Jednačina ima tri rešenja:

\cos{\frac x 2}=0 \quad\lor\quad \sin{\frac x 2}=0 \quad\lor\quad 1-\cos{\frac x 2}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=\pi+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Rešavanjem treće jednačine dobija se:

x=4k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Nalaženjem unije rešenja dobija se konačno rešenje:

x=2k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}

28. Trigonometrijske jednačine