Trigonometrijska nejednačina sa korenom iz 2 − 2 cos x

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

(\sqrt{2-2\cos x}-1)\cos x\ge0

REŠENJE ZADATKA

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sqrt{2-2\cos x}-1$ i $\cos{x}.$

Znaka izraza $\sqrt{2-2\cos x}-1:$

$\sqrt{2-2\cos x}-1>0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}3, \ \frac{5\pi}3\bigg)

$\sqrt{2-2\cos x}-1<0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}3\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{5\pi}3, \ 2\pi\bigg)

Znak izraza $\cos{x}:$

$\cos x>0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}2\bigg)\ \cup \ \bigg(\frac{3\pi}2, \ 2\pi\bigg)

$\cos x<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}2, \ \frac{3\pi}2\bigg)

x\in(0,\frac{\pi}3)

x\in(\frac{\pi}3,\frac{\pi}2)

x\in(\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)

x\in(\frac{3\pi}2, \frac{5\pi}3)

x\in(\frac{5\pi}3,2\pi)

\sqrt{2-2\cos x}-1

-

+

+

+

-

\cos x

+

+

-

+

+

(\sqrt{2-2\cos x}-1)\cos x

-

+

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg[\frac{\pi}3+2k\pi, \ \frac{\pi}2+2k\pi\bigg]\ \cup \ \bigg[\frac{3\pi}2+2k\pi,\ \frac{5\pi}3+2k\pi\bigg], \quad k\in\mathbb{Z}

$(\sqrt{2-2\cos x}-1)\cos x\ge0$