Trigonometrijska nejednačina: sin 2x − sin x > 0

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\sin2x-\sin x>0, \quad x\in[0, \ 2\pi]

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

2\sin x\cos x-\sin x>0

Izvući zajednički činilac ispred zagrade.

\sin x(2\cos x-1)>0

Potrebno je analizirati znak svakog od činilaca izraza: $\sin x$ i $2\cos{x}-1.$

Znak izraza $\sin{x}:$

$\sin{x}>0$ za:

x\in (0, \ \pi)

$\sin{x}<0$ za:

x\in(\pi,\ 2\pi)

Znak izraza $2\cos{x}-1:$

$2\cos{x}-1>0$ za:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}3\bigg) \ \cup \ \bigg(\frac{5\pi}3, \ 2\pi\bigg)

$2\cos{x}-1<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}3,\ \frac{5\pi}3\bigg)

x\in(0, \frac{\pi}3)

x\in(\frac{\pi}3, \pi)

x\in(\pi,\frac{5\pi}3)

x\in(\frac{5\pi}3,2\pi)

\sin x

+

+

-

-

2\cos x-1

+

-

-

+

\sin x(2\cos x-1)

+

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg(0, \ \frac{\pi}3\bigg) \ \cup \ \bigg(\pi, \ \frac{5\pi}3\bigg)

$\sin2x-\sin x>0$