Trigonometrijska nejednačina sa tg x i cos kvadrat x

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

\frac{\sqrt3}{\cos^2x}<4\tg x

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\tg{\alpha}=\frac {\sin{\alpha}} {\cos{\alpha}}$

\frac{\sqrt3}{\cos^2x}-\frac{4\sin x}{\cos x}<0

Svesti sve članove na isti imenilac.

\frac{\sqrt3-4\sin x\cos x}{\cos^2x}<0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

\frac{\sqrt3-2\sin 2x}{\cos^2x}<0

Da bi izraz sa leve strane znaka nejednakosti bio negativan i pošto je imenilac pozitivan (kvadrat bilo kog broja je pozitivan), brojilac $\sqrt3-2\sin2x$ mora biti negativan.

$\sqrt3-2\sin2x<0$ za:

x\in\bigg(\frac{\pi}6, \ \frac{\pi}3\bigg) \ \cup \ (\pi,\ 2\pi)

x\in(0,\frac{\pi}6)

x\in(\frac{\pi}6,\frac{\pi}3)

x\in(\frac{\pi}3,\pi)

x\in(\pi,2\pi)

\sqrt3-2\sin 2x

+

-

+

-

\cos^2x

+

+

+

+

\frac{\sqrt3-2\sin 2x}{\cos^2x}

+

-

+

-

Rešenja nejednačine pročitati iz tabele:

x\in\bigg(\frac{\pi}6+k\pi, \ \frac{\pi}3+k\pi\bigg), \quad k\in\mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

$\frac{\sqrt3}{\cos^2x}<4\tg x$

Beleške

3cos⁡2x<4tg⁡x\frac{\sqrt3}{\cos^2x}<4\tg x cos2x3​​<4tgx

$\frac{\sqrt3}{\cos^2x}<4\tg x$